A série de Fibonacci é aquela em que você obterá seu próximo termo adicionando os dois números anteriores.

  Por exemplo:

  0 1 1 2 3 5 8 13 21 34

  Aqui, 0 + 1 = 1
  1 + 1 = 2
  3 + 2 = 5
  e assim por diante.

  Lógica:

  1) Inicializando primeiro e segundo número como 0 e 1.
  2) Imprima o primeiro e o segundo número.
  3) A partir do próximo número, comece seu loop. Então o terceiro número será a soma dos dois primeiros números.

  Exemplo 1: Nesse exemplo vamos calcular a série de Fibonacci para os 15 primeiros números.

   <?php $num = 0; $n1 = 0; $n2 = 1; echo "A série de Fibonacci dos primeiros 15 números:"; echo "\n"; echo $n1.' '.$n2.' '; while ($num < 15 ) { $n3 = $n2 + $n1; echo $n3.' '; $n1 = $n2; $n2 = $n3; $num = $num + 1; } ?>

  Veja na imagem o resultado do código acima:

  Exemplo 2: Nesse exemplo vamos usar uma função recursiva para fazer o mesmo cálculo, mas apenas para primeiros 10 números.

   <?php /* Imprime a série de Fiboancci dos 10 primeiros números. */ $num = 10; echo "A série de Fibonacci dos primeiros 10 números usando uma funçao recursiva:"; echo "\n"; /* Função recursiva para a série de Fibonacci. */ function series($num){ if($num == 0){ return 0; }else if( $num == 1){ return 1; } else { return (series($num-1) + series($num-2)); } } /* Chama a função. */ for ($i = 0; $i < $num; $i++){ echo series($i); echo "\n"; } ?>

  Veja na imagem o resultado do código acima: